Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема теории вероятностей. Распределения Пирсона и Стьюдента

Доступен только на StudyGur

Тема:
Скачиваний: 0
Страниц: 3
Опубликован:
ЧИТАЙТЕ ПОЛНЫЙ ТЕКСТ ДОКУМЕНТА

ПРЕДПРОСМОТР

Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема теории
вероятностей. Распределения Пирсона и Стьюдента.
С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат
физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук
Впервые нормальный закон был обнаружен в Х1Х веке в применении к теории ошибок
измерения Лапласом и Гаусcом. Сейчас, после доказанной Ляпуповым центральной
предельной теоремы, стало уже ясным, почему этот нормальный закон широко
распространен в технике, биологии, социологии, психологии и многих других сферах
человеческих знаний. Все его содержание показано на рисунке 1, на графике плотности
распределения вероятностей.
Рис.1
Рис.1 Плотность распределения вероятностей нормального закона
1,2 - графики с одним средним m и разными стандартными отклонениями s , причем s
1<s 2
3 - график при m =0, s =1 для Z - закона и примерным распределением площадей под
кривой.
Под аргументом x здесь можно понимать самые различные числовые величины, не
поддающиеся предсказанию до проведения эксперимента: рост, вес, число ошибок при
тестировании, умственное развитие, склонность к правонарушениям и любые другие,
возникающие как результат сложения многих независимых (или слабо зависимых) и
сравнимых по порядку своего влияния случайных воздействий. Функция f(x) показывает
следующую важнейшую информацию: вероятность числовой величине х принять значение
больше числа а и меньше числа в равна площади под кривой f(x) на отрезке [ a,b] (рис.1).
Разумеется, это касается любых a и b, близких между собой или далеких, расположенных в
любом месте прямой х. Кроме того, площадь под всей кривой f(x) равна 1, т.е. вероятность
для х попасть на прямую равна 1, и это событие достоверное (это свойство еще называется
условием нормировки).
У нормального закона два параметра, полностью его определяющих: числа m и s .
Число m есть средняя величина для интересующих нас числовых показателей: средний рост,
средний вес и т.п. Меняя m , можно т совершать параллельный перенос кривой f(x) вдоль оси
х. Видно также, что наиболее вероятно появление числа х в эксперименте вблизи m :
площадь под f(x)на любом отрезке, содержащем m, самая большая.
Число s есть среднее отклонение числового показателя х от числа m: чем меньше s , тем
“круче” становится “холм” f(x) (рис.1) и тем меньше вероятность для х сильно отличаться от
m. Наоборот, при больших s “холм” f(x) растекается по “равнине” и с почти равной
вероятностью х может появиться как вблизи m , так и сколь угодно далеко от m.
Если числовой показатель х пересчитать в число Z по следующему правилу:
то все “холмы” f(x) превратятся в кривую 3 закона Z Гаусса на рис.1. Тогда все точки ±
1 для Z соответствует точкам m± s для х, а точки ± 3 для Z - точкам m± 3s для х. По
распределению площадей под кривой 3 видно, что на отрезке [ -3,3] сосредоточено примерно
99,7% всей площади под кривой f(x). Отсюда вытекает так называемое правило “трех s “ для
закона Z: с вероятностью р=0,997 случайная величина х отклоняется от то все “холмы” f(x)
превратятся в кривую 3 закона Z на рис.1. Тогда все точки ± 1 средней m (влево или вправо)
не более чем на 3s .
Теперь настал момент объяснить, почему так много внимания уделяется “холму” f(x) на
рис.1. В теории вероятностей доказана теорема, совершенно справедливо названная
центральной предельной теоремой. В грубых чертах, сумма большого числа (практически
более 7 - 10) независимых случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на
рассеивание суммы, подчиняется нормальному закону. Например, рост человека, на который
оказывают влияние очень много факторов, среди которых в массе нет доминирующих по
своему влиянию.
С начала ХХ века оказался очень полезным введенный Пирсоном закон c 2 (рис.2): в
страховом деле, в выяснении торгового спроса или популярности политиков и т.п.
Рис.2. Плотность распределения вероятностей законаc 2, с n степенями свободы.
Под аргументом х здесь понимается сумма n независимых слагаемых в квадрате,
каждое из которых подчиняется нормальному Z- закону с m =0 и s =1. Ясно, что при
больших n (практически при n >30) закон c 2 превращается в нормальный закон с m = n и s
=
, поскольку действует теорема Ляпунова. Но чаще всего слагаемых не более 10. Число
n называеся числом степеней свободы. Смысл f(x) такой же, как и в нормальном законе:
вероятность числовой величине х=c 2 попасть в заданный диапазон равна площади под
кривой f(x). Так, площадь под кривой на отрезке от 0 до n +
составляет более 90% всей
площади под всей кривой f(x). Отсюда следут правило “трех s “ для закона c 2: с
вероятностью рі 0,9 случайная величина х=c 2 не превосходит величины n +Ц 2n (очевидно, c
2 не может быть отрицательным).
Наконец, необходимо упомянуть закон t Стьюдента, полученный из нормального
закона и законаc 2. Случайная величина t получается из дроби в числителе которой стоит
случайная величина Z Гаусса с m=0 и s =1, а в знаменателе - случайная величина c 2 с n
степенями свободы. По -прежнему при больших n закон Стьюдента переходит в нормальный
закон (практически при n і 30). Но даже при небольших n вид кривой плотности
распределения вероятностей для t очень похож на кривую 3 рис.1. Разница в том, что вместо
s =1 для Z необходимо брать s =n /(n -2), т.е.среднее отклонение t от m=0 больше, чем
среднее отклонение Z от m=0. Соответственно “холм” закона t более пологий, чем “холм”
закона Z.
ЗАРЕГИСТРИРУЙТЕСЬ - ЭТО БЕСПЛАТНО

Похожие документы

Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова

... номером. Эта простая мысль для своего времени оказалась весьма полезной. Галилей, в сущности, повторил результаты, полученные значительно раньше рядом предшественников. Однако эта, теперь простая задача, в ту пору была серьезным испытанием и для мыслителя столь высокого ранга как ...

docx | 119.7 kB | 41 страниц