Движение в центрально

Доступен только на StudyGur

Тема:
Скачиваний: 1
Страниц: 26
Опубликован:
ЧИТАЙТЕ ПОЛНЫЙ ТЕКСТ ДОКУМЕНТА

ПРЕДПРОСМОТР

Национальный Технический Университет Украины
«Киевский Политехнический Институт»
Реферат
По курсу: Квантовая Механика
На тему:
« Движение в центрально – симметричном поле »
Выполнил студент
группы ДС-71
Садрицкий Роман.
Киев-1999г.
Содержание:
1. Движение в центрально-симметричном поле.
2. Падение частицы на центр.
3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
1.Движение в центрально-симметричном поле.
Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в
квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике.
Гамильтониан двух частиц ( с массами m1 , m2 ) , взаимодействующих по закону
U (r ) (r -расстояние между частицами), имеет вид

H   2 1 / 2m1   2  2 / 2m2  U (r )
(1,1)
где 1 ,  2 - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо
радиусов-векторов частиц r1 и r2 новые переменные R и r :
r  r2  r1
R
m1r1  m2 r2
m1  m2
(1,2)
r - вектор взаимного расстояния, а R - радиус-вектор центра инерции частиц.
Простое вычисление приводит к результату:

H 
2
2
R 
  U (r )
2(m1  m2 )
2m
(1,3)
(  R и  - операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов R и r ;
m1  m2 - полная масса системы; m  m1m2 /( m1  m2 ) - приведенная масса).
Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей.
Соответственно этому, можно искать  (r1 , r2 ) в виде произведения  ( R ) ( r ) ,
где функция  (R) описывает движение центра инерции ( как свободное
движение частицы с массой m1  m2 ), а  (r ) описывает относительное
движение частиц ( как движение частицы массы m в центрально-симметричном
поле U  U (r ) ).
Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном
поле имеет вид
 
2m
E  U (r )  0
2
(1,4)
Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в
сферических координатах, напишем это уравнение в виде
1   2   1  1  
 
1  2  2m
E  U (r )  0 .
r

sin








  sin 2   2   2
r 2 r  r  r 2  sin   
(1,5)
Если ввести сюда оператор квадрата момента:

 1
2
1  
 
I 2   2

 sin 
 ,
2
sin





sin






то мы получим

 2  1   2   I 2 
r
     U (r )  E

2m  r 2 r  r  r 2 
(1,6)
При движении в центрально-симметричном поле момент импульса
сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными
значениями момента l и его проекции m . Заданием значений l и m
определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому,
ищем решения уравнения (1,6) в виде
  R(r )Ylm ( ,  )
(1,7)

где Ylm ( ,  ) - сферические функции. Поскольку I 2Ylm  l (l  1)Ylm , то для
«радиальной функции» R (r ) получаем уравнение
1   2 R  l (l  1)
2m
R  2 E  U (r )R  0
r

2
2
r r  r 
r

(1,8)
Это уравнение не содержит вовсе значения l z  m , что соответствует (2l  1) кратному вырождению уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной части волновых функций.
Подстановкой
R(r ) 
 (r )
r
(1,9)
уравнение (1,8) приводится к виду
 2   2m
l (l  1) 
  2 (E  U ) 
 0
2
r
r 2 

(1,10)
Если потенциальная энергия U (r ) везде конечна, то должна быть конечной во
всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция  , а
следовательно, и ее радиальная часть R (r ) . Отсюда следует, что  (r ) должна
обращаться в нуль при r  0 :
 (0)  0
(1,11)
В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося
при r  0 в бесконечность.
Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для
одномерного движения в поле с потенциальной энергией
U l (r )  U (r ) 
равной сумме энергии U (r ) , и члена
 2 l (l  1)
2m r 2
(1,12)
 2 l (l  1)  2 I 2
,

2mr 2
2mr 2
который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о
движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном
движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
r  0 ). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для
функции  , определяющееся интегралом


0

R r 2 dr    dr .
2
2
0
При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни
энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии
решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции,
определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой
функции полностью определяется значениями l и m , мы приходим к выводу,
что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция
полностью определяется значениями E , L, m . Другими словами, энергия,
квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин
для такого движения.
Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к
одномерному позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим
собственные значения энергии ( дискретного спектра ) при заданном l в
порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами nr , причем
наиболее низкому уровню приписывается номер nr  0 . Тогда nr определяет
число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях r
(не считая точки r  0 ). Число nr называют радиальным квантовым числом.
Число l при движении в центрально-симметричном поле иногда называют
азимутальным квантовым числом, а m - магнитным квантовым числом.
Для обозначения состояний с различными значениями момента l частицы
существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами
латинского алфавита со следующим соответствием:
l 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
s p d f
g h i k
(1,13)
Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном
поле всегда является s - состояние; действительно, при l  0 угловая часть
волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая
функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также
утверждать, что наименьшее возможное при заданном l собственное значение
энергии растет с увеличением l . Это следует уже из того, что наличие момента
связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена
 2 l (l  1) / 2mr 2 , растущего с увеличением l .
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет
считать, что
lim U (r )r 2  0
(1,14)
r 0
Ищем R (r ) в виде степенного ряда по r , оставляя при малых r только первый
член разложения; другими словами, ищем R (r ) в виде R  const  r s .
Подставляя это в уравнение
d  2 dR 
r
  l (l  1) R  0 ,
dr  dr 
получающееся из (1,8) умножением последнего на r 2 и переходя к r  0 ,
найдем
s( s  1)  l (l  1) .
Отсюда
s l
или
s  (l  1) .
Решение s  (l  1) не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается
в бесконечность при r  0 ( напомним, что l  0 ). Таким образом, остается
решение с s  l , т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с
данным l пропорциональны r l :
Rl  const  r l .
(1,15)
Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между r и r  dr
2
определяется величиной r 2 R и поэтому пропорциональна r 2(l 1) . Мы видим,
что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше
значение l .
2. Падение частицы на центр.
Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения
полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического
смысла, - движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в
некоторой точке ( начале координат ) в бесконечность по закону
U (r )    / r 2 (   0) ; вид поля вдали от начала координат нас не будет
интересовать. Этот случай – промежуточный между теми, когда имеются
обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение»
частицы на начало координат.
Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае
будет следующим:
R  
2

R  2 R  0
r
r
(2,1)
( R (r ) - радиальная часть волновой функции), где введена постоянная
 
2m
 l (l  1)
2
(2,2)
и опущены все члены более низкого порядка по 1 / r ; значение энергии E
предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже
опущен.
Ищем R в виде R  r S ; тогда получаем для s квадратное уравнение
s ( s  1)    0
с двумя корнями
1
1
s1   
 ,
2
4
1
1
s2   

2
4
(2,3)
Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом.
Выделим вокруг начала координат малую область радиуса r0 и заменим
функцию   / r 2 в этой области постоянной величиной   / r02 . Определив
волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что
получается при переходе к пределу r0  0 .
Предположим сначала, что   1 / 4 . Тогда s1 и s2 - вещественные
отрицательные числа, причем s1 > s2 . При r  r0 общее решение уравнения
Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых r )
R  Ar S1  Br S2
( A, B - постоянные). При r  r0 решение уравнения
R 
2

R  2 R  0
r
r0
конечное в начале координат, имеет вид
(2,4)
RC

sin kr
,k 
r
r0
(2,5)
При r  r0 функция R и ее производная R  должны быть непрерывными
функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности
логарифмической производной от rR . Это приводит к уравнению
A( s1  1)r0S1  B( s 2  1)r0S2
 k  ctgkr0
Ar0S1 1  Br0S2 1
или
A( s1  1)r0S1  B( s 2  1)r0S2
  ctg  .
Ar0S1  Br0S2
Решенное относительно B / A , это уравнение дает выражение вида
B
 const  r0S1  S 2
A
(2,6)
Переходя теперь к пределу r0  0 , находим, что B / A  0 ( напоминаем,
что s1  s 2 ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат
решений уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое
обращается в бесконечность менее быстро:
RA
1
r
S1
.
Пусть теперь   1 / 4 . Тогда s1 и s2 комплексны:
1
1
s1    i   , s 2  s1* .
2
4
Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое
при подстановке значений s1 и s2 дает
B
 const  r0i
A
4 1
.
(2,8)
При r0  0 это выражение не стремится ни к какому определенному пределу.
Так что прямой переход к пределу r0  0 невозможен. С учетом (2,8) общий
вид вещественного решения может быть написан следующим образом:
R  const 


1 r
cos   ln  const  .
4 r0
r


1
(2,9)
Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с
уменьшением r0 . Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо для
волновой функции ( при достаточно малых r ) при любом конечном значении
энергии E частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального
состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что
«нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует
энергии E   . Но во всяком состоянии дискретного спектра частица
находится в основном в области пространства, в которой E  U . Поэтому при
E   частица находится в бесконечно малой области вокруг начала
координат, т.е. происходит «падение» частицы в центр.
«Критическое» поле U kp , при котором становится возможным падение
частицы в центр, соответствует значению   1 / 4 . Наименьшее значение
коэффициента при  1 / r 2 получается при l  0 , т.е.
U kp  
2
.
8mr 2
(2,10)
Из формулы (2,8) ( для s1 ) видно, что допускаемое решение уравнения
Шредингера ( вблизи точки, где U ~ 1 / r 2 ) расходится при r  0 не быстрее
чем 1 / r . Если поле обращается при r  0 в бесконечность медленнее чем
1 / r 2 , то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно
вовсе пренебречь U (r ) по сравнению с остальными членами, и мы получим те
же решения, что и для свободного движения, т.е.  ~ r l . Наконец, если поле
обращается в бесконечность быстрее чем 1 / r 2 ( как  1 / r S с s  2 ), то
волновая функция вблизи начала координат пропорциональна r S / 41 . Во всех
этих случаях произведение r обращается при r  0 в нуль.
Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле,
спадающем на больших расстояниях по закону U    / r 2 при произвольном
его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что   1 / 4 . Легко
видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число
отрицательных уровней энергии1. Действительно, при энергии E  0 уравнение
Шредингера на больших расстояниях имеет вид (2,1) с общим решением (2,4).
Но функция (2,4)не имеет ( при r  0 ) нулей; поэтому все нули искомой
радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала
координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами,
порядковый номер уровня E  0 , замыкающего дискретный спектр, конечен.
Если же   1 / 4 , то дискретный спектр содержит бесконечное число
отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния
E  0 имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей,
так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.
Наконец, пусть поле U    / r 2 во всем пространстве. Тогда при   1 / 4
происходит падение частицы. Если же   1 / 4 , то отрицательные уровни
энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния E  0
будет во всем пространстве вида (2,7); она не имеет вовсе нулей на конечных
расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (при данном l ) уровню
энергии.
1
Предполагается, что при малых r поле таково, что падения частицы не происходит.
3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является
движение в кулоновом поле
U 

r
(  - положительная постоянная ). Мы будем рассматривать сначала кулоново
притяжение, соответственно чему будем писать U   / r . Из общих
соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных
значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом уровней ), а
спектр положительных энергий – непрерывным.
Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид
d 2 r 2 dR l (l  1)
2m 



R  2  E  R  0
2
2
r dr
r
dr
r
 
(3,1)
Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то
под m надо подразумевать их приведенную массу.
В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться вместо
обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем
называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц измерения
массы, длины и времени выберем соответственно
m,
2
,
m
3
.
m 2
Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет
m 2
.
2
Далее будем пользоваться этими единицами.
Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид
d 2 R 2 dR l (l  1)
1



R  2 E   R  0
2
2
r dr
r
dr
r

(3,2)
Дискретный спектр.
Введем вместо параметра E и переменной r новые величины:
n
1
 2E

,
2r
.
n
(3,3)
При отрицательных энергиях n есть вещественное положительное число.
Уравнение (3,2) после подстановки (3,3) приобретает вид
R  
 1 n l (l  1) 
R     
R0

 2 
 4 
2
(3,4)
( штрихи обозначают дифференцирование по  ).
При малых  решение, удовлетворяющее необходимым условиям
конечности, пропорционально  l ( см. (1,15)). Для выяснения
асимптотического поведения R при больших  опускаем в (3,4) члены с 1 /  и
1 /  2 и получаем уравнение
R  
R
,
4
откуда R  e   / 2 . Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение,
следовательно, при больших  ведет себя, как e   / 2 .
Виду этого естественно сделать подстановку
R   l e   / 2 (  ) ,
(3,5)
после чего уравнение (3,4) принимает вид
 2  2l  l      n  l  1  0
(3,6)
Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности быстрее
конечной степени  , а при  =0 должно быть конечным. Удовлетворяющее
последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция
  F (n  l  1,
2l  2,
)
(3,7)
Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при
целых отрицательных ( или равных нулю ) значениях  n  l  1 , когда функция
(3,7) сводится к полиному степени ( n  l  1) . В противном случае она
расходится на бесконечности, как e  .
Таким образом, мы приходим к выводу, что число n должно быть целым
положительным, причем при данном l должно быть
n  l 1
(3,8)
Вспоминая определение (3,3) параметра n , находим
E
1
, n  1,2,...
2n 2
(3,9)
Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в
кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней
между нормальным уровнем E1  1 / 2 и нулем. Интервалы между каждыми
двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением n ; уровни
сгущаются по мере приближения к значению E  0 , при котором дискретный
спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет
следующий вид:
E
m 2
2 2 n 2
(3,10)
Целое число n называется главным квантовым числом. Радиальное же
квантовое число, определенное в п.1, равно
nr  n  l  1 .
При заданном значении главного квантового числа число l может принимать
значения
l  0,1,..., n  1,
(3,11)
всего n различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только
число n . Поэтому все состояния с различными l , но одинаковыми n обладают
одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение
оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу m ( как
при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу l . Это
последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или кулоновом )
специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению l
соответствует 2l  1 различных значений m ; поэтому кратность вырождения
n - го уровня энергии равна
n 1
 (2l  1)  n
2
(3,12)
l 0
Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5),
(3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих
параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми
обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому
Rnl  const   l e   / 2 L2nll1 (  ) .
Радиальные функции должны быть нормированы условием

R
2
nl
r 2 dr  1 .
0
Их окончательный вид следующий:
2
Rnl   2
n

n
l 2
(n  l  1)!
(n  l )!3
l
e
r / n
 2r  2l 1  2r 
  Ln  l   
 n 
 n 
2
(n  l )!
2r 

(2r ) l e  r / n F   n  l  1,2l  2, 
n 
(2l  1)! (n  l  1)!

(3,13)
Вблизи начала координат Rnl имеет вид
Rnl  r l
2 l 1
(n  l )!
2l
n (2l  1)! (n  l  1)!
(3,14)
На больших расстояниях
Rnl  (1) nl 1
2n
n
n 1
(n  l )!(n  l  1)!
r n1e r / n .
(3,15)
Волновая функция R10 нормального состояния затухает экспоненциально на
расстояниях порядка r ~ 1 , т.е. в обычных единицах, r ~  2 / m .
Средние значения различных степеней r вычисляются по формуле

r k   r k  2 Rnl2 dr .
0
Приведем несколько первых величин r k ( с положительными и
отрицательными k ):
r


1 2
3n  l (l  1) ,
2
r 1 
1
,
n2
r2 


n2
5n 2  1  3l (l  1) ,
2
r 2 
1
.
n (l  1 / 2)
3
(3,16)
Непрерывный спектр.
Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от
нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с
бесконечной кратностью; каждому значению E соответствует бесконечное
множество состояний с l , пробегающими все целые значения от 0 до  ( и со
всеми возможными, при данных l , значениями m ).
Определяемое формулами (3,3) число n и переменная  теперь чисто
мнимы:
n
i
i
 ,
k
2E
  2ikr ,
(3,17)
где k  2E . Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют
вид
Rkl 
C kl
i

(2kr) l e ikr F   l  1,2l  2,2ikr 
(2l  1)!
k

(3,18)
где C kl - нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде
комплексного интеграла
Rkl  C kl (2kr) e
l
ikr
 2ikr 
1

e  1 

2i
 

i
 l 1
k
  2l  2 d ,
(3,19)
который берется по контуру ( см. рис ниже ).
  2ikr
 0
Подстановкой   2ikr (t  1 / 2) этот интеграл приводится к более
симметричному виду
i
(2kr) l 1 2ikrt  1  k
Rkl  C kl
 e  t  2 
2
l 1
 1
t  
 2
i
 l 1
k
dt
(3,20)
( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки t  1/ 2 ).
Из этого выражения непосредственно видно, что функции R kl вещественны.
Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции
позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой
функции R kl
 i 


1

e kr  (l  1)  ln 2kr


e
2
k

 G l  1  i , i  l ,2ikr 
Rkl  C kl
Re  


i
kr
k k




 l  1  


k


 / 2 k
(3,21)
Если нормировать волновые функции «по шкале k / 2 » , то нормировочный
коэффициент C kl равен
i

C kl  2ke / 2 k  l  1  
k

(3,22)
Действительно, асимптотическое выражение R kl при больших r ( первый член
разложения (3,21) ) тогда имеет вид
Rkl 
2 
1


sin  kr  ln 2kr  l   l  ,
r 
k
2

(3,23)


i
k
 l  arg  l  1  
в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного
спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от
общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса;
поскольку, однако, ln r растет при увеличении r медленно по сравнению с
самим r , то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на
бесконечности, наличие этого члена не существенно.
Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного
множителя, может быть выражен через элементарные функции.
Воспользовавшись известными свойствами Г-функций
( z  1)  z( z ) ,
( z )(1  z ) 

,
sin z
имеем
i
i 
ii i

(l  1  )   l  ...1     ,
k
 k  kk k
i 
i 
i 
i

 l  1     l  ...1  1  
k  k  k  k

и далее
i  
i 
i 

 l  1     l  1   l  1  
k  
k 
k 

1/ 2


l

k
s2 
S 1
1

sinh 1 / 2 .
2
k
k
Таким образом,
 8k 
C kl  
 2 / k 
1  e

1/ 2
l

s2 
S 1
1
k2
(3,24)
( при l  0 произведение заменяется на 1 ).
Предельным переходом k  0 можно получить радиальную функцию для
особого случая равной нулю энергии. При k  0
2r
(2r ) 2
i

i

F   l  1,2l  2,2ikr   F  ,2l  2,2ikr   1 

 ... 
(2l  2)1! (2l  2)( 2l  3)2!
k

k

 (2l  1)!(2r ) l 1 / 2 J 2l 1 ( 8r ) ,
где J 2l 1 - функция Бесселя. Коэффициенты C kl (3,24) при k  0 сводятся к
Ckl  8 k l 1 / 2
Отсюда находим
Rkl
k

k 0
 
4
J 2l 1 8r
r
(3,25)
Асимптотический вид этой функции при больших r
Rkl
k
k 0
8
 3
r 
1/ 4


sin  8r  l  
4

(3,26)
Множитель
k исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е.
от функции R kl к функции REl ; именно функция REl остается конечной в
пределе E  0 .
В кулоновом поле отталкивания U   / r  имеется только непрерывный
спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера
в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля
притяжения изменением знака у r . Поэтому волновые функции стационарных
состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.
Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому
выражению и в результате получается
Rkl 
C kl  2ke
 / 2 k
C kl
i

(2kr) l e ikr F   l  1,2l  2,2ikr  ,
(2l  1)!
k

i   8k 

 l  1     2 / k

k  e
1

1/ 2 

s2 
S 1
1
.
k2
(3,27)
Асимптотическое выражение этой функции при больших r имеет вид
Rkl 
2 
1
l

sin  kr  ln 2kr 
 l ,
r 
k
2

(3,28)


i
k
 l  arg  l  1   .
Природа кулонова вырождения.
При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место
специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения

 
r
 pl  const
r
(3,29)
В квантовой механике этой величине отвечает оператор
 
 r 1
    pl   p 
r 2
(3,30)
 
коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом   p 2 / 2  1 / r .
Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для

операторов Ai друг с другом и с оператором момента:
l , A  ie
i
k

A
ikl l ,
A , A  2iHe
i
k

l
ikl l .
(3,31)

Некоммутативность операторов Ai друг с другом означает, что величины
Ax , Ay , Az не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных

значений. Каждый из этих операторов, скажем Az , коммутативен с такой же

компонентой момента l z , но некоммутативен с оператором квадрата

момента  2 . Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой
одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к
дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для
кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах
той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к
пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой
механике.
Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с

фиксированной отрицательной энергией, можно заменить H в правой стороне



соотношения (3,31) на E и ввести вместо Ai операторы ui  Ai /  2E . Для
них правила коммутации принимают вид
l , u  ie
i
k


ikl u l ,
ui , uk   ieikl ll
(3,32)
 
 

Вместе с правилом li , l k  ieikl ll эти соотношения формально совпадают с
правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в
четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой
задачи в квантовой механике.
Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для
 
уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо l и u
операторы


 1  
j1  l  u ,
2


(3,33)

, j2k   0
(3,34)

1  
j2  l  u .
2
Для них имеем
j
1i


, j1k   ie ikl j1l ,
j
2i


, j 2 k   ie ikl j 2l ,
j
1i
Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых
векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из
квадратов j12 и j 22 равны j1 ( j1  1) и j2 ( j2  1) , где j1 , j2  0,1 / 2,1,3 / 2,... . С
 
другой стороны, по определению операторов u и l  r p  , находим, после
простого вычисления:
  
l u  ul  0 ,

1

l 2  u 2  1 
2E



( при вычислении суммы l 2  u 2 снова заменено H на E ). Отсюда
1
1 
j12  j 22   1 
  j ( j  1)
4  2E 
(где j  j1  j2 ) и затем E  1 / 2(2 j  1) 2 .
Обозначив
2 j 1  n,
n  1,2,3,... ,
(3,35)
приходим к требуемому результату E  1 / 2n 2 . Кратность вырождения
уровней равна, как и следовало: (2 j1  1)( 2 j 2  1)  (2 j  1) 2  n 2 . Наконец,
  
поскольку l  j1  j 2 , то при заданном j1  j2  (n  1) / 2 орбитальный момент
пробегает значения от 0 до 2 j  n  1 .
ЗАРЕГИСТРИРУЙТЕСЬ - ЭТО БЕСПЛАТНО

Похожие документы