Экономико математические методы в производстве

Доступен только на StudyGur

Тема:
Скачиваний: 0
Страниц: 13
Опубликован:
ЧИТАЙТЕ ПОЛНЫЙ ТЕКСТ ДОКУМЕНТА

ПРЕДПРОСМОТР

ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ
Кафедра статистики и экономического прогнозирования
Контрольная работа
"Экономико-математические методы"
Новосибирск 2009
Задание 1
Производственная функция для райпо имеет вид f x1 , x 2   10 x1  x 2 ,
где f – товарооборот, млн. руб.; x1 – производственная площадь, тыс. кв. м; x2
– численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня
и найдите на ней точку С1 с координатами x 1 , x 2 , где
y 0  100  
x1 
  100 , и точку С с координатами x * , x * , где x * 2    300 . Сделайте
2
1
2
100
100
*
*
вывод о возможности замены ресурсов ( x 1 , x 2 ) и ( x 1 , x 2 ). Полученные
результаты изобразите графически.
Решение
Для производства некоторого изделия в количестве Y единиц
используются различные ресурсы, которые можно обозначить x1, x2, …..xn.
Очевидно, что и Y и x1, x2, …..xn измеряются в определенных единицах
измерения и имеют количественное выражение. Использую математические
методы можно выразить значение одной величины через другую, в том числе
Y через , где
= (x1, x2, …..xn). Функциональную зависимость Y = f ( )
называют производственной функцией.
Обозначим какое-то изделие через Y0. Если установлено, что для его
изготовления можно в n – мерном пространстве найти такие , что Y0 = f ( ).
Найденные
составят некоторое множество Q
следующим образом Q y0 =
:
y0.
Сказанное можно записать
.
Множество Q y0 и называют изоквантой функции f ( ).
Пусть имеются
Q y0 и
Q y0. Из понятия изокванты следует, что и
обеспечивают производство одного и того же количества продукта Y0, т.е.
являются
в
этом
смысле
взаимозаменяемыми.
Для
организаторов
производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов
компенсировать другими.
Для производственной функции товарооборота (в млн. рублей), которая
имеет вид: f (x1, x2) = 10 *
*
.
(x1 – производственная площадь, тыс. кв. м;
x2 – численность работников, сотни чел.) и ее изокванты
Y0 =
=
=
= 25,18 найдем координаты для
точек C1 (а1, в1) и С2(а2, в2).
Для точки C1 (а1, в1) известно, а1 =
=
=
= 4,34.
Использую определение изокванты, получаем:
10 *
*
=
Отсюда, в1 =
, или 100 * а1* в1 = 634, или а1* в1 = 6,34
= 1,46, т.е. точка C1 имеет координаты (4,34; 1,46).
Для точки C2 (а2, в2) известно, в2 =
=
=
= 2,34.
Использую определение изокванты, получаем:
10 *
*
Отсюда, а2 =
=
, или 100 * а2* в2 = 634, или а2* в2 = 6,34
= 2,71, т.е. точка C2 имеет координаты (2,71; 2,34).
Уравнение нашей изокванты имеет вид 10 *
(при Y0 =
*
= 25,18) или x1 * x2 = 6,34. Уравнение такого вида
представляет собой гиперболу, которую и изобразим схематически на
графике ниже.
Итак, 146 работников райпо, используя 4,34 тыс. кв. метров
производственной площади, обеспечат товарооборот
= 25,18 (млн.
руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 234 работника райпо,
используя площадь 2,71 тыс. кв. метров.
Используя график этой функции, можно находить взаимозаменяемые
пары (x1, x2).
X2 (сотни чел.)
C2 (2,71; 2,34)
2.5
2.0
С1 (4,34; 1,46)
1.5
1.0
0.5
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 X1 (тыс. кв. м)
Задание 2
Произведите
классификацию
товаров
по
следующей
таблице
эластичностей:
Товар
Первый
Второй
Третий
Первый
  610
100
550,5  
100
570,5  
100
Второй
550,5  
120
  640
100
520,5  
100
Третий
570,5  
120
520,5  
90
  680
100
Решение
Преобразуем таблицу под наш вариант
товар
первый
первый
второй
=
0,76
= 534
= –
третий
=
0,165
=
=
0,365
=
второй
=
=
0,1375
= –
=
=
=
=
– 0,15
0,304
=
– 1,135
1,06
третий
=
=
=
= –
1,46
1. Введем определение эластичности товара.
Обозначим
y  y1 , y 2 ,..., y n 
– спрос на товары, выраженный в
некоторых единицах, и p  p1 , p 2 ,..., p n  – цены на эти товары, т.е. pi – цена на i
– й товар; yi – спрос на i – й товар.
Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный

представитель определенной социальной группы, и если для него удается у
выразить через p , т.е. y  f (p) , то f называется функцией спроса.
y – n – мерные векторы, равенство y  f (p)
Ввиду того, что p , f ,
можно
представить
y i  f i (p1 , p 2 ,..., p n ),
в
координатной
i  1,2,..., n,
записи
следующим
образом:
f  (f1 , f 2 ,..., f n ) .
Разумеется, в реальной ситуации спрос зависит не только от цен, но от
многих других факторов. Поэтому введенное понятие имеет весьма
ограниченное использование и применимо, в частности, для некоторой
классификации товаров с позиции определенного потребителя.
Определим эластичность εij формулой
 ij 
f i ( p)
.
f i (p) p j
pj

Величина εij является математической идеализацией процентного
изменения спроса на i – й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.
Например, если ε23=0,25, то это понимается так, что если цену на 3-й
товар увеличить на 1%, то спрос на 2-й товар увеличится на 0,25%.
Эластичность εij при i = j называется прямой, и она показывает, на
сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены
на этот же товар. Будем считать, что εii ‹ 0, т.е. увеличение цены на i-й товар
приводит к снижению спроса на него.
Эластичность εij при
i  j называется перекрестной, и она показывает
влияние изменения цены одного товара на спрос другого.
Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности
сводится к следующему:
– если |εii | ‹ 1, то i-й товар называется малоэластичным;
– если |εii |  1, то i – й товар называется среднеэластичным;
– если |εii | › 1, то i – й товар называется высокоэластичным;
– если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на
i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.
Математически это соответствует выполнению неравенств: εii ‹ 0, εji ‹ 0;
– если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на
i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.
Математически это соответствует неравенствам εij › 0, εji › 0.
Таблица эластичностей принимает вид:
товар
первый
второй
третий
первый
= – 0,76
= 0,165
= 0,365
второй
= 0,1375
= – 1,06
= – 1,135
третий
= 0,304
= – 0,15
= – 1,46
Так как |ε11| = 0,76
1, то первый товар малоэластичный;
так как |ε22| = 1,06
1, то второй товар среднеэластичный;
так как |ε33| =1,46
1, то третий товар высокоэластичный.
Поскольку ε12 = 0,165
0 и ε21 = 0,1375
0, то первый и второй товары
0 и ε31 = 0,304
0, то первый и третий товары
взаимозаменяемые.
Поскольку ε13 = 0, 365
взаимозаменяемые.
Поскольку ε23 = – 1,135
0 и ε32 = – 0, 15
0, то второй и третий товары
взаимодополняемые.
Задание 3
Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть
использованы?
Решение
1. Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы
материального
производства.
Каждая
из
отраслей
производит
один
агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями
обозначим x1, x2,…, xn. Вся продукция xi отрасли i, i=1, 2,…, n, делится на
промежуточную Zi и конечную yi. Промежуточную продукцию потребляют в
процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы
материального производства и предназначается для непроизводственного
потребления.
На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный
период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим xij – объем
продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если
представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по
другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых
уравнений.
x 1  Z1  y1  x 11  x 12  ...  x 1n  y1
.............................................................

(1)
x i  Z i  y i  x i1  x i 2  ...  x in  y i
..............................................................

x n  Z n  y n  x n1  x n 2  ...  x nn  y n
Преобразуем систему уравнений:

x 11
x
x
 x 1  12  x 2  ...  1n  x n  y 1
x 1 
x1
x2
xn

..............................................................

x i1
x
x

 x 1  i 2  x 2  ...  in  x n  y i
x i 
x1
x2
xn

...............................................................

x  x n1  x  x n 2  x  ...  x nn  x  y
1
2
n
n
 n x
x2
xn
1

(2)
x ij
Отношение x  a ij называется коэффициентом прямых затрат и
j
содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется
передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой
продукции.
Учитывая это, система уравнений примет вид:
x 1  a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n  y 1
..............................................

x i  a i1 x 1  a i 2 x 2  ...  a in x n  y i
...............................................

x n  a ni x 1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  y n
(3)
Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании
деятельности отраслей материального производства. Если технологии
производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат
остаются неизменными.
Задание 4
В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью
μ= (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет
интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени
простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего
потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено
условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя
длина очереди?
Решение
К системам массового обслуживания (СМО) относятся магазины,
рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные
телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно
представить в следующем виде:
Поток
Входящий поток
требований
Очередь
Канал
обслуживания
Канал
обслуживания
Канал
обслуживания
обслуженных
требований
Для входящего потока требований предположим, что интервалы между
поступлениями соседних требований есть случайная величина X с
показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t)
имеет вид:
F( t )  1   t , t  0 .
Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего
потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу
времени.
Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются
в порядке поступления. Для обслуживания примем предположения, что все n
каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного
требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному
закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:
F( t )  1   t , t  0 .
Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания,
и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним
каналом в единицу времени.
Обозначим  

(α – параметр загрузки СМО) и предположим, что

выполняется условие стационарности α < n или λ < μ * n.
Это условие означает, что интенсивность входящего потока меньше,
чем суммарная интенсивность обслуживания.
При сформулированных предположениях можно рассчитать некоторые
экономические показатели работы СМО, такие, например, как Рк – доля
времени работы К – каналов, К=0,1,…, n; L – средняя длина очереди и
другие.
Формулы для вычисления p0,…, pn, L в общем случае довольно
громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:
p0 
2
;
2
p1 
(2  ) 
;
2
p2 
2
;
2
L
3
4  2
.
Рассчитаем долю времени простоя касс и среднюю длину очереди для
магазина
самообслуживания,
в
котором
работают
две
кассы
с
интенсивностью μ = (534+300)/100 (треб./мин.) каждая и входящий поток
требований имеет интенсивность λ = (534+400)/100 (треб./мин.). Если
интенсивность входящего потока станет равной λ=(700–534)/10 (треб./мин.),
то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько
раз увеличится средняя длина очереди?
Вычислим λ (треб./ед. времени) интенсивностью входящего потока λ =
= 9,34 и μ (треб./ед. времени) интенсивностью обслуживания μ =
= 8,34. Отсюда, вычислим параметр загрузки СМО
12 и предположим, что выполняется условие стационарности
=
=
= 1,
< n или λ <
μ * n (1,12 < 2; 9,34 < 8,34 * 2 = 16,68 – выполняются оба условия
стационарности).
Вычислим Рк – доля времени работы К – каналов, К=0,1 и L – средняя
длина очереди:
Р0 =
=
L1 =
= 0,282 (Р0 = 28,2%)
=
=
Если интенсивность станет λ =
= 0,511 (треб.)
= 16,6 (треб./мин.), то, в силу
выполнения условия стационарности (λ < μ * n, 16,6 < 8,34 * 2 = 16,68),
вычислим среднюю длину очереди:
=
=
= 1,99
L2 =
=
=
=
= 197,51 (треб.)
= 386,5.
Таким образом, при интенсивности обслуживания μ=8,34 (треб./мин.) и
интенсивности входа λ=9,34 (треб./мин.) доля времени простоя касс
составляет 28,2% времени, а средняя длина очереди равна 0,511 (треб.).
Если же интенсивность входа станет равной 16,6 (треб./мин.), то
средняя длина очереди увеличится в 386,5 раза.
Литература
1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. –
М.: Финансы и статистика, 1985
2. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. –
М.: Экономика, 1976
3. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.:
Наука, 1979
4. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987
5. Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в
торговле. – М: Экономика, 1988
6. Щедрин И.И.,
Кархов А.Н.
Экономико-математические
методы
в
торговле. – М.: Экономика, 1980
7. Шаланов Н.В. Экономико-математические методы в торговле: Учебное
пособие. – Новосибирск: СибУПК, 1998
ЗАРЕГИСТРИРУЙТЕСЬ - ЭТО БЕСПЛАТНО

Похожие документы